Заметим, что два простых числа всегда являются взаимно простыми. Из ра­вен­ства по­лу­ча­ем пред­став­ле­ния числа в виде суммы 9, 12, 15, … 153 квад­ра­тов. Каждое число чем-то отличается от других, а чем-то и похоже. Для можно взять числа 1 и 2. Пусть числа удо­вле­тво­ря­ют тре­бу­е­мо­му усло­вию. Из озвученного определения следует, что если некоторый набор целых чисел имеет положительный общий делитель, отличный от единицы, то данные целые числа не являются взаимно простыми.


Либо одно из них, либо они оба могут быть составными и при этом являться взаимно простыми. Часто встречаются задания, в которых требуется доказать, что данные целые числа являются взаимно простыми. Полезно также перед вычислением НОД заглянуть в таблицу простых чисел: вдруг исходные целые числа являются простыми, а мы знаем, что наибольший общий делитель простых чисел равен единице. Обычно далеко не очевидно, что некоторые числа являются взаимно простыми, и этот факт приходится доказывать.

Заглянув в таблицу простых чисел, мы обнаружим, что каждое из чисел 331, 463 и 733 – простое. Чтобы доказать, что данные числа не взаимно простые, можно найти их НОД и убедиться, что он не равен единице. Действительно, так как a и b взаимно простые, то из предыдущего свойства мы имеем равенство a·u0+b·v0=1. Так мы получили равенство НОД(b1·b2·…·bm, a1·a2·…·ak)=1, которое доказывает, что произведения a1·a2·…·ak и b1·b2·…·bm являются взаимно простыми числами.

Целые числа a1, a2, …, ak, каждое из которых взаимно просто со всеми остальными, называют попарно простыми числами. С другой стороны, взаимно простые числа далеко не всегда являются попарно простыми, это подтверждает следующий пример. Также понятно, что когда речь идет о двух целых числах, то для них понятия «попарно простые» и «взаимно простые» совпадают. Получение: выбрать любое четырехзначное число, в котором не все циры одинаковые.

Возьмем теперь любое натуральное число и вычислим сумму квадратов цифр. С полученным числом повторим операцию. А что, если вместо суммы квадратов вычислять сумму кубов цифр числа? Оказывается, «орбиты» получаются гораздо интереснее. Некоторые числа «вырождаются» — приходят к единице.

Что интересно, если умножить 142857 на 7, то получится число 999999. Число называется репьюнитом, если оно составлено из одних единиц. Пи — число иррациональное, однако его можно вычислить достаточно простым способом, используя всевозможные ряды, произведения и т.п. Квадраты некоторых целых чисел можно читать как обычным образом, так и справа налево.

Если то Если то каж­дый шаг удва­и­ва­ет от­кло­не­ние от (где ), Если это число всё ещё боль­ше 1/4, по­вто­рим про­це­ду­ру, что воз­мож­но, так как нуж­ное усло­вие опять вы­пол­ня­ет­ся. За­ме­тим, что любое пред­ста­ви­мо как сумма чисел вида то есть чисел 0, 3, 8, 15 …(числа могут по­вто­рять­ся).

Взаимно простые числа – определение, примеры и свойства.

Дей­стви­тель­но, если какое-то число боль­ше сво­е­го но­ме­ра, то все по­сле­ду­ю­щие числа тоже боль­ше сво­е­го но­ме­ра. Число A = M − N = 2N чётно. Но, по усло­вию, число A со­став­ле­но из нечётных цифр и двой­ки.

Приближенные числа

Зна­чит, пред­по­след­няя цифра числа A = 2N будет чётной, а она долж­на быть нечётной. За­ме­тим, что нечётное число не де­лит­ся на чётное, а зна­чит, не может сто­ять в окру­же­нии чисел оди­на­ко­вой чётно­сти. От­сю­да сле­ду­ет, что нечётные числа стоят па­ра­ми.

Делимость целых чисел и остатки

До­ка­жем, что для лю­бо­го на­ту­раль­но­го су­ще­ству­ют на­ту­раль­ных чисел, сумма любых двух из ко­то­рых де­лит­ся на их раз­ность. Най­и­те наи­боль­шее зна­че­ние числа если и сумма имеет наи­мень­шее зна­че­ние. Не могла. Для того, чтобы в ат­те­ста­те по ка­ко­му-то пред­ме­ту сто­я­ла трой­ка, не­об­хо­ди­мо по­лу­чить по этому пред­ме­ту трой­ку и в 9-ом и в 11-ом клас­се.

Най­ди­те все целые зна­че­ния для каж­до­го из ко­то­рых число Будет ра­ци­о­наль­ным. Из про­ме­жут­ка на 11 де­лят­ся толь­ко числа 891880 и 891891. Ана­ло­гич­но по­лу­ча­ем урав­не­ние Пусть тогда Зна­чит, число 891891 могло по­лу­чить­ся. В де­ся­тич­ной за­пи­си по­ло­жи­тель­но­го числа по­ме­ня­ли ме­ста­ми цифры, сто­я­щие на пер­вом и тре­тьем ме­стах после за­пя­той.

Не­по­сред­ствен­ной про­вер­кой убеж­да­ем­ся, что под­хо­дит толь­ко число 0,05775. Рас­смот­рим те­перь набор чисел таких, что (то есть, уве­ли­чим все дан­ные числа на еди­ни­цу). Если у этих двух на­бо­ров есть хотя бы 4 общих числа, то за­да­ча ре­ше­на, по­сколь­ку най­дут­ся 4 раз­но­сти, рав­ные еди­ни­це. Пусть нет, тогда в на­бо­ре по край­ней мере 14 новых чисел, ко­то­рых нет в на­бо­рах и Ана­ло­гич­но по­стро­им на­бо­ры (каж­дый раз уве­ли­чи­вая все числа преды­ду­ще­го на­бо­ра на еди­ни­цу).

Числа, равные сумме кубов своих цифр

На окруж­но­сти рас­став­ле­ны 999 чисел, каж­дое равно 1 или −1, при­чем не все числа оди­на­ко­вые. Тогда про­из­ве­де­ние чисел с 999-го по 9-ое по­ло­жи­тель­но, а осталь­ные от­ри­ца­тель­ны. Пусть две минус еди­ни­цы стоят рядом, а все осталь­ные числа — еди­ни­цы. По­это­му мак­си­маль­ное сум­мар­ное число очков, ко­то­рые они могут на­брать равно 2+12=14.

По­сколь­ку каж­дый уче­ник был хотя бы в одном по­хо­де, всего маль­чи­ков в клас­се мень­ше чем от ко­ли­че­ства де­во­чек. Сле­до­ва­тель­но, маль­чи­ков в этом клас­се мень­ше чем от об­ще­го числа уче­ни­ков. Ка­ко­вы все воз­мож­ные зна­че­ния d, если и из­вест­но, что в сумме маль­чи­ки на­бра­ли ровно в 3 раза боль­ше очков, чем де­воч­ки? Если каж­дый иг­ра­ет с каж­дым по два раза, то со­сто­ит­ся 18 туров, в каж­дом из ко­то­рых иг­ра­ет­ся по 5 пар­тий.

Пусть и – число маль­чи­ков и де­во­чек в -м по­хо­де, и – число маль­чи­ков и де­во­чек на общей встре­че. Во всех приведенных выше примерах число цифр квадрата было нечетным. Доказательство сводится к вычислению наибольшего общего делителя данных чисел и проверке НОД на его равенство единице.

Еще фишки:

  • Персональное путешествие с Карлом СаганомПерсональное путешествие с Карлом Саганом Карл Саган получил мировую известность за свои научно-популярные книги и телевизионный мини-сериал «Космос: Персональное Путешествие» (Cosmos: A Personal Voyage). […]
  • Нет в ДивногорскеНет в Дивногорске Введите название ЖК, застройщика, район, метро, локацию, улицу или ищите по ключевому слову в описании. Строительство микрорайона «Дивногорский» ведется в Ленинском […]
  • Переход «Площадь Революции»Переход «Площадь Революции» Площадь Ревы – Театральная,3. Театральная – Охотный ряд,4. Чистые пруды – Тургеневская.Еще с БИЛ на Александровский Сад я хожу не через переход в середине станции, а […]

Комментарии запрещены.

Навигация по записям